Това е кода на calculator_frontend.php

<form method="get">
  <div>
    <select name="operation">
        <option value="sum">SUM</option>
        <option value="subtract">SUBTRACT</option>
    </select>
</div>
<div>
  <input type="text" name="number_one"/>
  <input type="text" name="number_two"/ >
</div>
<?php if (isset($output)) : ?>
  <div>
    Result:
    <input type="text" disabled="disabled" readonly="readonly" value="<?= $output; ?>"/>
  </div>
<?php endif; ?>
<div>
  <input type="submit" name="calculate" value="Calculate!"/>
</div>
</form>

А това е на това на calculator.php

<?php
  if (isset($_GET['calculate'])) {
    $operation = $_GET['operation'];
    $numberOne = $_GET['number_one'];
    $numberTwo = $_GET['number_two'];
    if ($operation == "sum") {
      echo "Result = " . ($numberOne + $numberTwo);
    }elseif ($operation == "subtract") {
      echo "Result = " . ($numberOne - $numberTwo);
    }else {
      echo "Something went terribly wrong";
    }
  }
  include 'calculator_front.php';
 ?>

Къде се инициализара $output и къде се присвоява стойността от логигата в calculator.php към $output?

Защо изобщо този if е TRUE: 

<?php if (isset($output)) : ?>

Това е кода на calculator.php

<?php
if (isset($_GET['calculate'])) {
    $operation = $_GET['operation'];
    $numberOne = $_GET['number_one'];
    $numberTwo = $_GET['number_two'];
    $output = "";
    if ($operation == 'sum') {
        $output = $numberOne + $numberTwo;
    } else if ($operation == 'subtract') {
        $output = $numberOne - $numberTwo;;
    } else {
        $output = 'Invalid operation supplied.';
    }
}

include_once 'calculator_fronted.php';

моля, погледнете 2 страници по-надолу (мисля, че страница 17 беше).

Поздрави!

Да това вече го разбирам :) Но, дори и само с echo в if-овете работи както трябва.

Никой не е казал и не спори, че не работи. Просто така е прието да се пише и за това е сложено в раздел Code Quality. ;)