Здравей! Като за начало опитай да направиш следното:

1 - във външния цикъл в самото начало направи булевата = false

2 - веднага след нея сложи една проверка за дължината на масива, ако numbers.Length == 1 да изведе на конзолата 0

3 - след 2-та цикъла направи проверка например -

if (sumLeft != sumRight)
{
   flag = true;
}
else if (sumLeft == sumRight)
{
   Console.WriteLine(i);
   break;
}

4 - извън цикъла провери булевата и ако е true отпечатай

Console.WriteLine("no");

5 - премахни следния код

int index = 0;
long middleSum = 0;

middleSum += numbers[i];

if (middleSum == 0)
{
   if (numbers[numbers.Length - 1] == 0)
{
   flag = true;
   index = 0;
}
   else if (numbers[0] == 0)
{
   flag = true;
   index = numbers.Length - 1;
}
}

if (flag == true || numbers.Length == 1)
   Console.WriteLine(index);
else
   Console.WriteLine("no");

също така и проверката за str != string.Empty

След тези промени, би трябвало да ти даде 100/100 и кода да изглежда ето така:

using System;
using System.Linq;

namespace EqualSum
{
    class Program
    {
        static void Main(string[] args)
        {
            string[] arr = str.Split();
            int[] numbers = arr.Select(int.Parse).ToArray();
            bool flag = false;
            for (int i = 0; i < numbers.Length; i++)
            {
                flag = false;
                if (numbers.Length == 1)
                {
                    Console.WriteLine(0);
                    break;
                }

                int sumLeft = 0;
                int sumRight = 0;
                for (int j = 0; j < i; j++)
                {
                    sumLeft += numbers[j];
                }
                for (int j = 1 + i; j < numbers.Length; j++)
                {
                    sumRight += numbers[j];
                }
                if (sumLeft != sumRight)
                {
                    flag = true;
                }
                else if (sumLeft == sumRight)
                {
                    Console.WriteLine(i);
                    break;
                }
            }
            if (flag)
            {
                Console.WriteLine("no");
            }
        }
    }
}