трябва да направиш проверка за age-a да е число каквото и да е, също така във #adopted секцията имаш ul трябва да закачиш li също не видях да правиш никъде проверка дали има value na input полето. Като цяло кодата ти е доста сбръчкан и малко се затрудних да го чета, но ето ти решение на 100% погледни и сравни.
 

function solve() {

    const inputs = {
        name: document.querySelector('input[placeholder="Name"]'),
        age: document.querySelector('input[placeholder="Age"]'),
        kind: document.querySelector('input[placeholder="Kind"]'),
        owner: document.querySelector('input[placeholder="Current Owner"]'),
    }

    const btn = document.querySelector('button');

    btn.addEventListener('click', addAnimal);

    function addAnimal(e) {
        e.preventDefault();

        let nameValue = inputs.name.value;
        let ageValue = inputs.age.value;
        let kindValue = inputs.kind.value;
        let ownerValue = inputs.owner.value;
        if (nameValue !== '' && !isNaN(ageValue) && kindValue !== '' && ownerValue !== '') {
            addItems(nameValue, ageValue, kindValue, ownerValue);

        }
    }

    function addItems(nameValue, ageValue, kindValue, ownerValue) {

        let section = document.querySelector('#adoption ul');

        let li = document.createElement('li');
        let p = document.createElement('p');

        p.innerHTML = `<strong>${nameValue}</strong> is a <strong>${ageValue}</strong> year old <strong>${kindValue}</strong>`

        let span = document.createElement('span');

        span.textContent = `Owner: ${ownerValue}`;

        let btnContact = document.createElement('button');
        btnContact.textContent = 'Contact with owner';

        li.appendChild(p);
        li.appendChild(span);
        li.appendChild(btnContact);

        section.appendChild(li);

        inputs.name.value = '';
        inputs.age.value = '';
        inputs.kind.value = '';
        inputs.owner.value = '';

        btnContact.addEventListener('click', contact)
    }

    function contact() {
        let element = this.parentNode

        let btn = element.querySelector('button');
        btn.remove();

        let div = document.createElement('div');

        let input = document.createElement('input');
        input.placeholder = 'Enter your names'

        let newBtn = document.createElement('button');

        newBtn.textContent = 'Yes! I take it!';
        div.appendChild(input);
        div.appendChild(newBtn);
        element.appendChild(div);

        newBtn.addEventListener('click', newOwner);

    };

    function newOwner() {
        let element = this.parentNode.parentNode;

        let div = element.querySelector('div');
        let input = div.querySelector('input');
        if (input.value !== '') {
            let span = element.querySelector('span');
            span.textContent = `New Owner: ${input.value}`
            div.remove();

            let btn = document.createElement('button');
            btn.textContent = 'Checked';

            element.appendChild(btn);

            let section = document.querySelector('#adopted ul');
            section.appendChild(element);
            btn.addEventListener('click', adopt);
        }
    };

    function adopt(e) {
        let element = e.target.parentNode;
        element.remove()
    }
}