Здравей,

Аз я реших по следния начин, има един много удобен метод за проверка на дължината на стринга, който може да използваш последния начин във for цикъла:

for (int i = 1; i < word.Length; i++)

Демек, цикъла ще се повтори толкова пъти, колко е дължината на думата. От там вътре в самия цикъл изпозваме нещо като масив по следния начин:

 if (word[i] == 'a') { sum = sum + 1; }

Дефакто задаваме на променливата word да провери при първото въртене на цикъла, дали първата буква отговаря на а, ако да, добавя +1 по условието на задачата. Така го правиш за всичките гласни. 

Аз го реших така: 

using System;

namespace VowelsSUm
{
    public class Program
    {
        public static void Main()
        {
            string word = Console.ReadLine();
            int sum = 0;

            for (int i = 1; i < word.Length; i++)
            {
                if (word[i] == 'a') { sum = sum + 1; }
                if (word[i] == 'e') { sum = sum + 2; }
                if (word[i] == 'i') { sum = sum + 3; }
                if (word[i] == 'o') { sum = sum + 4; }
                if (word[i] == 'u') { sum = sum + 5; }
            }
            Console.WriteLine(sum);
        }
    }
}

Успех :)