Проблемът е в първия селект, където вадиш само проектите и вече нямаше достъп до нужната ти информация от служителите.

Първо, трябва да имаш Where, в който да посочиш кои служители искаш да филтрираш - в условието на Where търсиш в проектите на служителя дали има такъв, който е стартирал в дадения диапазон. След това в селект-а може да извадиш всичко необходимо за служителите, а отделно от техните проекти може да вземеш каквото се изисква с още един селект. Ето какво имам предвид:

 var employeesWithProjects = context.Employees
                    .Where(e => e.Projects
                        .Any(p => p.StartDate.Year >= 2001 && p.StartDate.Year <= 2003))
                    .Select(e => new
                    {
                        e.FirstName,
                        e.LastName,
                        ManagerName = e.Manager.FirstName + " " + e.Manager.LastName,
                        Projects = e.Projects.Select(p => new
                        {
                            p.Name,
                            p.StartDate,
                            p.EndDate
                        })
                    });