Проблемът е, че пазите двойките думи в Map като за ключ използвате първата дума, и така губите двойки, които се повтарят в текста.
 

Например при вход:

#Part##traP##Part##traP#

Програмата ще изведе:

2 word pairs found!
The mirror words are:
Part <=> traP

Вместо:

2 word pairs found!
The mirror words are:
Part <=> traP, Part <=> traP

Има много начини за решаване на този проблем, ето един от тях:

//...
        int wordPairsCount = 0;
        List<List<String>> mirrorPairs = new ArrayList<>();
        while (matcher.find()) {
            wordPairsCount++;
            String firstWord = matcher.group("word");
            String secondWord = new StringBuilder(matcher.group("mirror")).reverse().toString();
            if (firstWord.equals(secondWord)) {
                mirrorPairs.add(List.of(firstWord, matcher.group("mirror")));
            }
        }
//...
        if (mirrorPairs.isEmpty()) {
            System.out.println("No mirror words!");
        } else {
            System.out.println("The mirror words are:");

            System.out.println(mirrorPairs.stream()
                    .map(pair -> String.join(" <=> ", pair))
                    .collect(Collectors.joining(", ")));
        }

Често срещам подобни проблеми в решения на колеги, търсещи помощ тук.

Като правило - не пазете данни в Map, ако изрично не е указано в условието, че ключа, който ползвате ще е уникален.