Основните грешки бяха две:

•  for цикъл до budjet - трябва да е while (saved < budjet)
• числата, които се подават от конзолата не са само цели (int -> double)

Оправеното решение:

import java.util.Scanner;
 
public class ExamPreparation {
    public static void main(String[] args) {
        Scanner scan = new Scanner(System.in);
 
        String destination = scan.nextLine();
 
        while (!destination.equals("End")){
            double needed = Double.parseDouble(scan.nextLine());
 
            double saved = 0.0;
            while (saved < needed){
                saved += Double.parseDouble(scan.nextLine());
            }
          
            System.out.printf("Going to %s!%n", destination);
          
            destination = scan.nextLine();
        }
 
    }
}
 

Питайте, ако има нещо неясно.