На всеки вход на оценка трябва да проверяваш за успех > 4, за да знаеш дали минава класа (дали да намалиш брояча), а не крайната средна оценка:

using System;

namespace Graduation
{
    class Program
    {
        static void Main(string[] args)
        {
            string student = Console.ReadLine();
            int counter = 12;
            double sum = 0;
            while (counter > 0)
            {
                double result = double.Parse(Console.ReadLine());
	        if (result >= 4) {                                                      
                    sum += result;
                    counter--;
                }
            }
            double averageResult = sum / 12;
            Console.WriteLine("{0} graduated. Average grade: {1:f2}", student, averageResult);           
        }
    }
}