Здравей! Пействам ти моето решение, мисля че ще ти помогне логиката. Опитах по условието да изграждам кода, но се обърках и започнах да следвам таблицата. Ето и решението ми.

using System;
using System.Linq;
using System.Collections.Generic;

namespace LongestIncreasingSubsequence
{
    class Program
    {
        public static void Main()
        {
            int[] sequence = Console.ReadLine()
                .Split(new char[] { ' ' }, StringSplitOptions.RemoveEmptyEntries)
                .Select(x => int.Parse(x))
                .ToArray();

            int[] lis;
            int[] len = new int[sequence.Length];
            int[] prev = new int[sequence.Length];
            int maxLength = 0;
            int lastIndex = -1;

            // обхождам поредицата
            for (int i = 0; i < sequence.Length; i++)
            {
                // len && prev съответно = 1 && -1
                len[i] = 1;
                prev[i] = -1;

                // обхождам поредицата и сравнявам за най-добра дължина на поредица
                // if i == j -> цикъл j няма да се изпълни
                for (int j = 0; j < i; j++)
                {
                    // ако текущата стойност j/в ляво/ е по-малка от i/в дясно/
                    // && текущия брой елементи j >= броя елементи на i -> броя на елементите /поредицата/ ще нараства
                    if (sequence[j] < sequence[i] && len[j] >= len[i])
                    {
                        len[i] = 1 + len[j];
                        prev[i] = j; // запазваме индекса на най добрия елемент от поредицата
                    }
                }
                // запазвам максималния брой елементи
                if (len[i] > maxLength)
                {
                    maxLength = len[i];
                    lastIndex = i;
                }
            }
            lis = new int[maxLength];
            for (int i = 0; i < maxLength; i++)
            {
                lis[i] = sequence[lastIndex];
                lastIndex = prev[lastIndex];
            }
            Array.Reverse(lis);
            Console.WriteLine(string.Join(" ", lis));
        }
    }
}

Това съм направил аз 

using System;
using System.ComponentModel.DataAnnotations;
using System.Linq;
using System.Runtime.InteropServices;

namespace LargestSeq
{
    class Program
    {
        static void Main(string[] args)
        {
            int[] nums = Console.ReadLine().Split().Select(int.Parse).ToArray();

            int[] index = new int[nums.Length];

            int maxIndex = 0;
            for (int i = 0; i < nums.Length; i++)
            {
                for (int j = 0; j < i; j++)
                {
                    if (nums[j] < nums[i] && index[j] > index[i] - 1)
                    {
                        index[i] = index[j] + 1;
                        if (index[i] > index[maxIndex])
                        {
                            maxIndex = i;
                        }
                    }
                }
            }

            Print(maxIndex, nums, index);
        }

        static void Print(int maxIndex, int[] nums, int[] index)
        {
            bool isFirst = true;
            for (int i = 0; i < maxIndex; i++)
            {
                if (nums[i] < nums[maxIndex] && index[i] == index[maxIndex] - 1 && isFirst)
                {
                    isFirst = false;
                    Print(i, nums, index);
                }
            }

            Console.Write(nums[maxIndex] + " ");
        }
    }
}