var hours = int.Parse(Console.ReadLine());
            var minutes = int.Parse(Console.ReadLine());
            hours = minutes / 60;
            minutes = minutes % 60;

            if (minutes < 10)
            {
                Console.WriteLine(hours + ":0" + minutes + 15);
            }
            else
            {
                Console.WriteLine(hours + ":" + minutes + 15);
            }

Казвайки hours = minutes / 60 презаписваш стойността на hours. При положение, че получаваш стойност за тази променлива от входа, не мисля, че това е, което искаш да направиш. Може би искаш да добавиш още часове? В такъв случай може да ползваш +=, вместо обикновено присвояване с =.

Така написано можеш да надхвърлиш 59 минути при печатането и да отпечаташ 67 минути, примерно, което е грешен резултат. По-добре първо прибави минутите, провери дали се променя часа след прибавените минути и тогава печатай.

Не си спомням, кога се учеше класа TimeSpan, но с него можеш да решиш задачата буквално с 2 - 3 реда.

http://www.dotnetperls.com/timespan

if (hours > 23) 
{
    hours %= 24;
}

Можеш спокойно да принтираш резултата по следния начин:
 

Console.WriteLine("{0}:{1:00}", hours, minutes);

using System;
using System.Collections.Generic;
using System.Linq;
using System.Text;
using System.Threading.Tasks;

namespace Time_SUm
{
    class Program
    {
        static void Main(string[] args)
        {
            var hours = int.Parse(Console.ReadLine());
            var minutes = int.Parse(Console.ReadLine());
            minutes = minutes + 15;
            
            if (minutes < 10)
            {
                Console.WriteLine(hours + ":0" + minutes);
            }
            else if (minutes >=60)
            {
                hours = hours + minutes / 60;
                Console.WriteLine(hours + minutes / 60 + ":00");
            }
            else if (hours >23)
            {
                hours %= 24;
                Console.WriteLine("0" + (hours %24) + ":" + minutes);
                
            }

        }
    }
}

Съжалявам, че пиша не знам си кой по ред коментар, но така и не стигам до правилното решение . Ще се радвам, ако някой ми даде пълното решение на задачата. Отделих достатъчно време и явно пропускам нещо.... всеки път. Благодаря предварително

{
            var hour = int.Parse(Console.ReadLine());
            var minutes = int.Parse(Console.ReadLine());
            minutes = minutes + 15;
            if ( minutes >= 60 ) {
                hour = hour + 1 ;
                minutes = minutes - 60;
 
                if   (hour >= 24)
                    hour = hour - 24;
               
            }
            Console.WriteLine("{0}:{01:00}", hour, minutes );

var hours = int.Parse(Console.ReadLine());
var minutes = int.Parse(Console.ReadLine());
DateTime time = new DateTime();
time = time.AddHours(hours);
time = time.AddMinutes(minutes + 15);
Console.WriteLine(time.ToString("H:mm"));
//Console.WriteLine("{0:H:mm}", time);

Понеже още съм стигнал до там, мога само да предполагам какво трябва да прави задачата - да прибавя по 15 минути към произволно зададен час. Ако е така ти предлагам следното решение:

var hours = int.Parse(Console.ReadLine());
var minutes = int.Parse(Console.ReadLine());
minutes += 15; //Тук може да бъде -> minutes = minutes + 15; (което е същия израз)
if (minutes >= 60)
{
    minutes -= 60; //Отново може да бъде -> minutes = minutes - 60;
    hours += 1; //Вече е банално да обяснявам пак
    Console.WriteLine(hours + ":" + minutes);
}
else
{
    Console.WriteLine(hours + ":" + minutes);
}

Успех в начинанието!  Btw може да имам грешки, понеже го пиша директно тук, без да го тествам във Visual Studio.

решението на H.Stoyanov е вярно но за да го приеме в джъджа направих малка промяна

using System;

    class Program
    {
        static void Main(string[] args)
        {
        var hours = int.Parse(Console.ReadLine());
var minutes = int.Parse(Console.ReadLine());
minutes += 15; //Тук може да бъде -> minutes = minutes + 15; (което е същия израз)
if (minutes >= 60)
{
    minutes -= 60; //Отново може да бъде -> minutes = minutes - 60;
    hours += 1; //Вече е банално да обяснявам пак
           
            if (minutes <10)
            {
                if (hours==24)
                {
                    Console.WriteLine("0:0" + minutes);
                }
                else
                {
                    Console.WriteLine(hours + ":0" + minutes);
                }
            }
            else
            {
                if (hours==24)
                {
                    Console.WriteLine("0:" + minutes);
                }
                else
                {
                    Console.WriteLine(hours + ":" + minutes);
                }
            }
}
else
{
            if (minutes < 10)
            {
                if (hours==24)
                {
                    Console.WriteLine("0:0" + minutes);
                }
                else
                {
                    Console.WriteLine(hours + ":0" + minutes);
                }
                
            }
            else
            {
                if (hours==24)
                {
                    Console.WriteLine("0:" + minutes);

                }
                else
                {
                    Console.WriteLine(hours + ":" + minutes);
                }
            }
        }

    }
}

Хвърли един поглед и на моето решение, използвам по-малко проверки

http://pastebin.com/mtjM92hs

Моето решение, правилно е, но може би е малко завъртяно, но така или иначе не се сещам за друго по-лесно

using System;

class MetricConverter
{
    static void Main()
    {
      
       int hour = int.Parse(Console.ReadLine());
       int minutes = int.Parse(Console.ReadLine());

        minutes += 15;
        if (minutes > 59)
            {
            minutes %= 60;
                hour += 1;

            }
        if (hour > 23)
        {
            hour %= 24;
        }

        Console.WriteLine($"{hour}:{minutes:D2}");

    }
}

https://pastebin.com/HWfW9QGV  5 реда код,не се страхувай да пробваш нови неща. С# дава много възможности...