Ако дестинацията е End трябва веднага да спре програмата, а не да чете цифра бюджет.
Изтрий втория бюджет, а първия го сложи вътре в while.

Taka написан кода няма как да ти работи локално,защото има много грешки.

Когато променливата ти destination приеме стойност "End" програмата трябва да приключи ,а ти се опитваш да парснеш стойност за буджет=>

 Input string was not in a correct format.

Ето ти кода малко променен 100/100.

using System;
using System.Collections.Generic;
using System.Linq;
using System.Text;
using System.Threading.Tasks;
namespace travelling
    {
        class Program
        {
             static void Main(string[] args)
          {
            string destination = Console.ReadLine();            
            double totalsaved = 0;
            double moneySaved = 0;
            double budget = 0.0;

            while (destination != "End")
            {
                budget = double.Parse(Console.ReadLine());
                while (totalsaved < budget)
                {
                    moneySaved = double.Parse(Console.ReadLine());
                    totalsaved += moneySaved;
                }

                Console.WriteLine($"Going to {destination}!");
                destination = Console.ReadLine();                
                totalsaved = 0;
             }             
           }
         }
       }