Привет, Илиян.

1)
Задачата ти изглежда вярна.
Малко си я over complicate-нал излишно.

2)
Според мен бъркаш функциите .remove() и .erase().
.remove(), която си използвал ти - обикаля целият контейнер и премахва елементите с подадената стойност.
Най-вероятно не искаш това.
Това, което търсиш е функцията .erase().
Тя приема итератор и много важно - връща итератор, която трябва да присвоиш.
Старият итератор вече е невалиден, затова трябва да присвоиш новия. Контейнера си се оправя вътрешно с останалатоа локига.
Когато искаш да триеш елемент докато итерираш се получава нещо такова

std::list<int> values { 1, 3, 5 };
//note that we don't increment the iterator in the for increment placeholder
for (std::list<int>::iterator it = values.begin(); it != values.end(); ) {
  if (*it == 3) { //the value we want to erase
    it = values.erase(it);
  } else {
    ++it; //normal iteration
  }
}

3)
Относно подаването на итератор като параметър на функция...не е невъзможно, но е странно.
Според мен можеш да разкараш функцията setItToNextPos и да замениш кода
it = setItToNextPos(names, it);
със

++it.
if (it == names.end()) {
  it = names.begin();
}

4)
Относно въпроса ти защо не можеш да направиш листа константен във функцията:
Можеш, без проблем. Просто върху константен лист можеш да имаш само const_iterator-и.
Твоите не са const и затова ти ръмжи компилаторът.

Поздрави,
Живко