Мисля че имаш проблем в ред 14.
var largest = -999999;
Ако ти подадат число което е над тази граница, да кажем -10326203, никога няма да го презапишеш като largest понеже проверката няма да минава.

Най-добре направи largest да е long и използвай вградената константа на long за минимална стойност.
long largest = long.MinValue

Всъщност сега разгледах задачата и преработих 'малко' кода ти.

Ето това нахвърлях набързо като гледах да е максимално опростено въпреки че съдържа масив. Описах всички стъпки, които съм променил какво правят. Така написана задачата дава 100/100 в Judge.

using System;
namespace maxsum{
	class MainClass{
		public static void Main (string[] args){
			int ele = int.Parse(Console.ReadLine ());
			int maxele = 0;
			int sum = 0;
			for (int i = 0; i < ele; i++) {
				var nums  = int.Parse(Console.ReadLine ());
				sum += nums;
				if (i==0) {maxele = nums;}
				else if (maxele<nums) {maxele = nums;}}
			var diff = sum - maxele;
			if ( diff == maxele ) {Console.WriteLine ("Yes, Sum = {0}",maxele);} 
			else {Console.WriteLine ("No, diff={0}", Math.Abs(sum - 2*maxele));}}}}

Масива ми се струва че е излишен.

Ето го и моето решение,надявам се да ти помогне http://pastebin.com/npZp7mZA

Грешката ти е че когато имаш 2 или повече числа по големи от largest то ги записва в него и не преминава към сумирането на предходното. Трябва всяко въведено число да го прибаваш към предходната сума. Накрая вадиш най - голямото и проверяваш.

for (int i = 1; i <= n; i++)

{
       var num = int.Parse(Console.ReadLine());
       if(num > largest)
       {
            largest = num;
        }
        sum = sum + num;
}
sum = sum - largest;
if (largest == sum || n == 0)
{

............ и така нататък за разликата и за равенството си го написал.

Ето това е моето решение, което работи на 100 и мисля, че най-малко се отдалечава от нивото на материала, който сме взели - http://pastebin.com/desqfTxY

Това е моето решение с взетия досега материал. Мисля че е максимално разбираемо.

Здравей fredadum,

след известно главоблъскане успях да я измъдря тая задача. Тук особеното е да сравняваш в началото 

с възможно най-минималната стойност позволена за формат int. - това е int.MinValue. Стойността е много ниска и ако искаш може да си я видиш с един Console.WriteLine(); лично аз вече я забравих :) Кръстил съм променливата, която съдържа от начало в себе си int.MinValue с дълго и "говорящо " име (comparisonMaxBasis), за да се разбира лесно и от четящите след мен кода.

Успех!

Ето и кода:

using System;
using System.Collections.Generic;
using System.Linq;
using System.Text;
using System.Threading.Tasks;

namespace HalfSumElement2
{
    class Program
    {
        static void Main(string[] args)
        {
            var nCount = int.Parse(Console.ReadLine());
            var sum = 0;
            var num = 0;
            var comparisonMaxBasis = int.MinValue;
            for (int i = 1; i <= nCount; i++)
            {
                num = int.Parse(Console.ReadLine());
                if (num > comparisonMaxBasis)
                {
                    comparisonMaxBasis = num;
                }
                sum = sum + num;
            }
            sum = sum - comparisonMaxBasis;
            if (sum == comparisonMaxBasis)
                Console.WriteLine("Yes sum = " + sum);
            else
                Console.WriteLine("No Diff = " + Math.Abs(sum - comparisonMaxBasis));
        }
    }
}