Ето така кодът ти работи:

public class exercise {
    public static void main(String[] args) throws IOException {
        BufferedReader reader = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));

        int dayYield = Integer.parseInt(reader.readLine());

        int spiceMined = 0;
        int daysOperated = 0;

        while (dayYield >= 100) {
            spiceMined += dayYield - 26;
            dayYield -= 10;
            daysOperated++;
        }
        if (spiceMined != 0) {
            spiceMined -= 26;
        }
        System.out.println(daysOperated);
        System.out.println(spiceMined);
    }
}

Нямаш нужда от тези проверки, които си направил, понеже ако входът >= 100, spiceMined никога няма да е по-малко от 26. А ако входът ти е <100, тогава изписва "0 0" на конзолата, понеже въобще не влиза в цикъла.
 

Дано да ти е било полезно!

EDIT: Малко по-подоробно, че нямах много време преди малко: при вход >=100, в граничния случай (dayYield = 100), след 1 ден операция ще имаш spiceMined = 100 - 26 = 74, което значи, че при всички положения ще можеш да извадиш консумираното количество след затваряне на мината (26) от spiceMined и проверкa за spiceMined < 26 не ти е нужна. 

А тук:

if (spiceMined == 0) {
        dayYield -= 26;
        if (dayYield < 0) {
        dayYield = 0;
        }

според мен си объркал променливите: няма смисъл от dayYield -= 26 (spiceMined трябва да се намалява с 26) и след това проверка за dayYield < 0 при условието  spiceMined == 0; в контекста на задачата тази проверка не прави нищо, свързано с изхода, понеже dayYield не се отпечатва на конзолата.

Нужна ти е само една проверка след цикъла за spiceMined != 0, за да извадиш допълнителните 26, ако мината е оперирала поне 1 ден.