Първо:

Първият ти цикъл (в Main) трябва да е от 1 до number включително ("[1…n]" по условие)

for (int i = 0; i < number; i++)

Второ в GetOddNum(int number) имаш

number %= 10;

което заменя number с number % 10. Този ред е същото като:

number = number % 10;

и цикълът преключва след първото изпълнение, защото number става едночислено (number става равен на остатъка от делението на number с 10) и след отва го делиш на 10 и number става 0. Махни този ред и замени условието на if-а с:

if ((number % 10) % 2 == 1)

Освен това не ти трябва този counter и result в GetOddNum. Там където увеличаваш counter го замени с

return true;

и махаш целия if за counter-а, махаш result променливата и накрая връщаш false вместо result.

Ето едно правилно решение: (не мога да го тествам в Judge в момента, защото нещо не работи Judge-а, но това решение е пренаписано от Java, което съм предал за 100/100)

using System;

namespace _10._Top_Number
{
  class Program {
    static void Main(string[] args)
    {
      int number = int.Parse(Console.ReadLine());

      PrintTopNumbersUpTo(number);
    }

    private static void PrintTopNumbersUpTo(int number)
    {
      for (int i = 1; i <= number; i++)
      {
        if (IsDigitSumDivisibleBy8(i) && HasOddDigit(i))
          Console.WriteLine(i);
      }
    }

    private static bool HasOddDigit(int number)
    {
      while (number > 0)
      {
        if ((number % 10) % 2 == 1)
          return true;
        number /= 10;
      }

      return false;
    }

    private static bool IsDigitSumDivisibleBy8(int number)
    {
      int digitSum = 0;
      while (number > 0)
      {
        digitSum += number % 10;
        number /= 10;
      }

      if (digitSum % 8 == 0)
        return true;

      return false;
    }
  }
}