Виждам два вложени if-а, в които поотделно вадиш изход. Потенциално има вероятност да принтираш два пъти това съобщение, например ако точката е в някой ъгъл на фигурата. Другият проблем е, че няма как да стигнеш до втората проверка без да е минала успешно първата. Пробвай да го сложиш в else-if, тъй като това са два отделни случая, които трябва да се проверят.

http://pastebin.com/NZHZxtpy

Ето го решението ,но за вбъдеще натискаш Details и ако не е изпит можеш да видиш входните данни и изхода (на изпит не можеш) и  после си въвеждаш входните данни и почваш да дебъгваш да видиш къде ти се чупи кода .

Незнам защо почвате да търсите първо “Border” ,Като е дадено да се намери “Border” , това не означава,че от него трябва да се започне. Лично на мен ми е много по лесни да намеря дали точката е “Inside / Outside” , ако не значи е “Border”.

 if ((x > x1 && x < x2 && y > y1 && y < y2) || ((x < x1 || y < y1 || x >x2 || y > y2)))

  Console.WriteLine("Inside / Outside");
  else
  Console.WriteLine("Border");

Грешката ти е ,че вместо else if си вложил if и за това не ти изписва бордер, тъй като за вложени ифове трябва условията да бъдат true. Другото което е ,че на вместо по-голямо или равно си написал само по-голямо/ по-малко там където казваш y да е между y1 и y2. Ето фискнах ти кода :

using System;

class program
{
    static void Main()
    {

        double x1 = double.Parse(Console.ReadLine());
        double y1 = double.Parse(Console.ReadLine());
        double x2 = double.Parse(Console.ReadLine());
        double y2 = double.Parse(Console.ReadLine());
        double x = double.Parse(Console.ReadLine());
        double y = double.Parse(Console.ReadLine());

        if (((x == x1) && (y >= y1 && y <= y2)) || ((x == x2) && (y >= y1 && y <= y2))) {
            Console.WriteLine ("Border");
        } else if (((y == y1) && (x > x1 && x < x2)) || ((y == y2) && (x > x1 && x < x2))) {
            Console.WriteLine ("Border");
        }
        else
        {
            Console.WriteLine("Inside / Outside");
        }
    }
}

Това пък е моят код:

using System;

class program
{
    static void Main()
        {
            double x1 = double.Parse (Console.ReadLine ());
            double y1 = double.Parse (Console.ReadLine ());
            double x2 = double.Parse (Console.ReadLine ());
            double y2 = double.Parse (Console.ReadLine ());

            //user
            double x = double.Parse (Console.ReadLine ());
            double y = double.Parse (Console.ReadLine ());

            if (x1<x2 && y1<y2) {
                if ((x == x1  || x == x2) && (y <= y2 && y >= y1) || (y == y1 || y == y2) && (x < x2 && x > x1)) {
                    Console.WriteLine("Border");
                }
                else {
                    Console.WriteLine("Inside / Outside");
                }
            }
        }
    }

Както е коментирал колегата при вторите проверки ти липсва знакът "=".

Интересното е ,че при първата проверка си сложил ""="",а при втората не си.

Задачата е малко или много е математическа,а в математиката има симетрия.

Не е логично на едното место да има "=",а на другото да няма.