Ето подходът, който ползвах аз.

import java.util.Scanner;

public class Time_15Mins {
    public static void main(String[] args) {
        Scanner scanner = new Scanner(System.in);
        int hours = Integer.parseInt(scanner.nextLine());
        int minutes = Integer.parseInt(scanner.nextLine());

        int totalMinutes = hours * 60 + minutes + 15;

        hours = totalMinutes / 60;
        minutes  = totalMinutes % 60;

        if (hours >23){
            hours = 0;
        }
        if (minutes < 10){
            System.out.printf("%d:0%d", hours, minutes);
        } else {
            System.out.printf("%d:%d", hours, minutes);
        }
    }
}

Общо взето, вкарваш си променливите, които ще се въведат от конзолата. След това минутите делиш на 60  с / , за да се получи цяло число за часове, а после минутите делиш на 60 с %, за да остане само остатъка, който реално са минутите.

После ако часовете са над 23  ги приравняваш на 0, понеже единствения вариант да е над 23 часът е с добавените 15 минути да е станало след полунощ, т.е часът е бил зададен от 0 до 23 и в последствие може да е станало след полунощ след добавените 15 минути , например ако е било 23:50.

След това, ако минутите са от 0 до 9 принтира с една нула пред минутите, за да изпише например 23:08, а не 23:8.

Ако не, просто изпринтира числата, както са.

Надявам се да съм помогнал  :)